VektorenRechnen mit Vektoren
Um mit Vektoren "rechnen" zu können, benötigt man die algebraische Darstellung von Vektoren. Das Bezugssystem
Die Komponenten eines Vektors sind eng mit dem Bezugssystem des Vektors verbunden. Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl der Basisvektoren, die benötigt wird, um den gesamten Vektorraum aufzuspannen.
Beispielsweise wird der uns wohlbekannte dreidimensionale Raum von genau drei Basisvektoren vollständig aufgespannt. Die Komponenten eines Vektors ändern sich normalerweise, wenn man unterschiedliche Bezugssysteme wählt (Koordinatentransformation). Das kartesische Koordinatensystem
Das uns geläufigste Bezugssystem ist das kartesische Koordinatensystem. Die Basisvektoren eines kartesischen Koordinatensystems werden meistens mit ex, ey und ez (manchmal auch mit e1, e2, e3) bezeichnet. Von der geometrischen zur algebraischen Darstellung
Ein Vektor wird geometrisch durch einen Pfeil im Raum dargestellt. Er repräsentiert quasi den direkten Weg vom Anfang bis zum Ende (Pfeilspitze) des Vektors. Jeder beliebige Vektor im dreidimensionalen Raum kann also durch die Addition von Vielfachen der Basisvektoren auf eindeutige Weise gebildet werden. Die Faktoren, mit denen man die Basisvektoren multiplizieren muss, sind die Komponenten des Vektors. sind Basisvektoren des Vektorraums Algebraische Darstellung: Diese Bildungsvorschrift gilt allgemein für n-dimensionale Vektorräume und für beliebige Bezugssysteme. Rechenregeln für VektorenWir können nun die Rechenregeln für die Addition und Multiplikation von Vektoren in algebraischer Form definieren. AdditionGeometrisch entspricht die Addition zweier Vektoren dem Aneinanderhängen dieser Vektoren. Algebraisch entspricht die Addition der Addition der Komponenten der Vektoren, was aus der obigen Herleitung direkt hervorgeht.
Multiplikation mit einem SkalarGeometrisch entspricht die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar der Verlängerung bzw. Verkürzung des Vektors. Algebraisch müssen alle Komponenten des Vektors mit dem Skalar multipliziert werden.
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