GeradenWas ist eine Gerade geometrisch gesehen?In der uns geläufigen euklidischen Geometrie (Geometrie des zwei- oder dreidimensionalen Raumes) ist eine Gerade eine Linie ohne Anfang und Ende. Auf dieser Linie, die übrigens (im Gegensatz zu einem Vektor) keine Richtung besitzt, liegen unendlich viele Punkte. Durch die Angabe von zwei Punkten ist eine Gerade (und damit die Lage aller Punkte auf dieser Geraden) eindeutig bestimmt. Zusammenhang: Gerade - lineare FunktionWenn man noch nie von Vektorrechnung gehört hat, sind einem Geraden meistens als lineare Funktionen bekannt. Lineare Funktion: y=m·x+b
Doch was hat eine lineare Funktion mit einer Geraden zu tun? Dabei wird die Lage der Geraden im Koordinatensystem durch die Parameter m und b in der Funktionsgleichung eindeutig festgelegt. Geraden als Vektorgleichung im dreidimensionalen Raum
Nun gilt es, eine Gleichung für alle Punkte zu finden, die auf der Geraden durch die Punkte A und B liegen.
Dazu folgende Überlegung: Bei beliebiger Wahl von k erreicht man also alle Punkte auf der Geraden durch A und B. Geradengleichung in Parameterform (vektorielle Form):
Punkt C auf der Geraden f. Der Vektor vom Ursprung zum "Ausgangspunkt" der Geraden wird als Stützvektor bezeichnet. Der Vektor vom A nach B, der die Richtung der Geraden vorgibt, wird als Richtungsvektor bezeichnet. Als Stützvektor kann prinzipiell jeder Punkt auf der Geraden (also auch B) verwendet werden. Als Richtungsvektor kann jedes Vielfache des Vektors verwendet werden. Die Geradengleichung in Parameterform hängt direkt von der Wahl des Stützvektors und des Richtungsvektors ab. Ein und dieselbe Gerade kann unendlich viele unterschiedliche Geradengleichungen in Parameterform besitzen. |