VektorenEigenschaften von Vektoren
Um sinnvoll mit Vektoren arbeiten zu können, müssen diese Eigenschaften besitzen, die nicht im Widerspruch zu den Systemen stehen, die sie beschreiben sollen. Gleichheit von VektorenZwei Vektoren sind gleich, wenn die Beträge (Längen) und Richtungen der beiden Vektoren übereinstimmen. Achtung! Parallele Vektoren mit gleichem Betrag und gleicher Richtung gelten als gleich.
Addition von Vektoren
Die Addition, zweier oder mehrerer Vektoren entspricht geometrisch dem Aneinanderhängen dieser Vektoren. Vektorgleichung: Dieser Sachverhalt ist auch aus der Physik bekannt. Greifen an einem Punkt mehrere Kräfte in unterschiedlichen Richtungen an, so entspricht die resultierende Kraft der vektoriellen Addition der Einzelkräfte.
Kräfteaddition: Die Addition von Vektoren ist kommutativ. Multiplikation mit einem SkalarMan kann Vektoren mit einem Skalar (Zahl) multiplizieren. Dadurch entsteht ein neuer Vektor, der parallel zum ursprünglichen Vektor ist, jedoch einen anderen Betrag (Länge) besitzt (solange man nicht mit 1 multipliziert). Ist die Zahl mit der man multipliziert negativ, wird die Richtung des Vektors umgedreht. Geometrisch gesehen vertauscht man dadurch den Beginn mit dem Ende des Vektors. Die Multiplikation mit einem Skalar entspricht geometrisch der Verlängerung bzw. Verkürzung eines Vektors. Besondere VektorenEinheitsvektorVektoren mit dem Betrag 1 heißen Einheitsvektoren. EinheitsvektorDer Vektor mit dem Betrag 0 heißt Nullvektor.
Inverser VektorMultipliziert man einen Vektor mit -1, so erhält man den Gegenvektor oder auch inversen Vektor.
Subtraktion von VektorenDie Subtraktion eines Vektors entspricht der Addition des Gegenvektors.
Die Subtraktion ist nicht kommutativ! VektorgleichungenÄhnlich wie mit Skalaren, kann man auch mit Vektoren Gleichungen bilden. Beispiel:
Wichtig dabei ist, dass alle Vektoren der Gleichung Elemente des selben Vektorraums V sein müssen. Man kann also keinen 2-dimensionalen Vektor mit einem 3-dimensionalen Vektor vergleichen. |