Potenzen

Potenzen mit natürlichen Exponenten

Das Potenzieren ist eine Erweiterung der Multiplikation. Es geht darum, eine Zahl mehrfach mit sich selbst zu multiplizieren.

Beispiel:

Die Zahl a, die mit sich selbst multipliziert wird, bezeichnet man als Basis.

Die Hochzahl n, die die Anzahl der Multiplikationen angibt, bezeichnet man als Exponent.

Für das Verständnis von Potenzen, ist es zunächst einfacher, nur ganzzahlige Exponenten zu betrachten. Jedoch kann man die Definition auf rationale und reelle Zahlen und später auch komplexe Zahlen erweitern.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Bei Potenzen mit rationalem Exponenten kommt der Wurzelbegriff ins Spiel. Es gilt:

Folgender Gedankengang zeigt, dass diese Definition sinnvoll ist.

Aus der Definition der Potenz für natürliche Zahlen ergibt sich:

Die m-te Wurzel einer Zahl a, ist die Zahl, die man m mal mit sich selbst multiplizieren muss, um a zu erhalten. Auch beim Wurzelbegriff geht es also um die Multiplikation mit sich selbst (wie bei den Potenzen).

Eine Möglichkeit, den Potenzbegriff auf rationale Exponenten zu erweitern ergibt sich wie folgt:

formel

Vergleicht man dies mit der Definition der Wurzel, ergibt sich:

Potenzgesetze

Für den Umganz mit Potenzen existieren die "berühmten" und allseits "beliebten" Potenzgesetze oder Potenzregeln.

Man kann sie direkt aus der Definition der Potenz herleiten. Die Rechenregeln kann man klassifizieren in Regeln für Potenzen mit gleichen Basen und Regeln für Potenzen mit gleichen Exponenten. Sie gelten für die Multiplikation von Potenzen.

Für die Addition von Potenzen gibt es keine besonderen Regeln. Man kann versuchen, solche Terme durch Ausklammern zu vereinfachen.